JORGE ANDRÉS GIRALDO VARELA 10°A

Elipse

Elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva.

Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.¹ Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.

Elementos de una elipse

La elipse posee un «eje mayor», trazo AB (que equivale a $\, {2a}$ ), y un «eje menor», trazo CD (que equivale a $\, {2b}$ ); la mitad de cada uno de esos ejes recibe el nombre de «semieje», de tal manera que se los denomina «semieje mayor» y «semieje menor», respectivamente.

Sobre el «eje mayor» existen dos puntos $\, {F_1}$ y $\, {F_2}$ que se llaman «focos».

El punto $\, {Q}$ es uno que pertenezca a la «elipse».

Puntos de una elipse

Si F₁ y F₂ son dos puntos del plano y d es una constante mayor que la distancia F₁ F₂, un punto Q pertenecerá a la elipse, si:

$F_1 Q + F_2 Q = d = 2a \,$

donde $a\;$ es el semieje mayor de la elipse.

Ejes de una elipse

Eje mayor (2 a) es la distancia mayor entre dos puntos adversos. En la figura, longitud del segmento AB.
La medida a es la mitad del eje mayor, o sea es el semieje mayor. La distancia del centro de la elipse al punto A o al punto B.

El resultado constante de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos equivale al eje mayor.

Obsérvese que d(AF₂) + d (AF₁) = d(AF₂) + d (BF₂)= AB

La medida b es la mitad del eje menor, o sea es el semieje menor, la distancia del centro al punto C o al punto D.

Excentricidad de una elipse

La excentricidad de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (segmento que va del centro de la elipse a uno de sus focos), denominada por la letra 'c', y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

$e=\frac{c}{a}$ , con (0 < e < 1)

Dado que $c = \sqrt{a^2-b^2}$ , también vale la relación:

$e=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}} =\sqrt{1-\left(\frac{b}{a}\right)^2}$

o el sistema:

$\begin{cases} e=\frac{c}{a}\\ c = \sqrt{a^2-b^2} \end{cases}$

La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.

Constante de la elipse

En una elipse, por definición, la suma de la longitud de ambos segmentos (azul + rojo) es una cantidad constante, la cual siempre será igual a la longitud del «eje mayor».

En la elipse de la imagen, la constante es 10. Equivale a la longitud medida desde el foco $\, {F_1}$ al punto $\, {Q}$ (ubicado en cualquier lugar de la elipse) sumada a la longitud desde el foco $\, {F_2}$ a ese mismo punto $\, {Q}$ . (El segmento de color azul sumado al de color rojo).

El segmento correspondiente, tanto trazo $\, {QF_1}$ (color azul), como al $\, {QF_2}$ (color rojo), se llaman «radio vector». Los dos «focos»equidistan del centro $\, {0}$ . En la animación, el punto $\, Q$ recorre la elipse, y en él convergen ambos segmentos (azul y rojo)

Ecuaciones de una Elipse

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1$

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las abscisas, b al eje de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.

Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (x₁, y₁), la ecuación es:

$\frac{(x-x_1)^2}{a^2}+\frac{(y-y_1)^2}{b^2} = 1$

En coordenadas polares con origen en un de sus focos la ecuación de la elipse es:

$\rho(\theta) = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}$

En coordenadas polares con origen en su centro la ecuación de la elipse es:

$\rho(\theta)=\frac{1}{\sqrt{\frac{cos(\theta)^2 }{a^2 }+\frac{sin(\theta)^2}{b^2 } }}$

La ecuación paramétrica de una elipse con centro en $(h, k)$ es:

$\begin{cases} x = h+a\cos\alpha\\ y = k+b\sin\alpha \end{cases}$

con $\alpha\in [0,2\pi)\ .\ \alpha$ no es el ángulo θ del sistema de coordenadas polares con origen en el centro de la elipse (tampoco es el ángulo del sistema de coordenadas polares con origen en algún foco de la elipse). La relación entre $α$ y θ es

${\rm{tg}} \theta = {b \over a}\ {\rm{tg}} \alpha$ .

Área interior de una elipse

El área de la superficie interior de una elipse es:

$\acute{A} rea=\pi \cdot a \cdot b$

Siendo a y b los semiejes.⁴

Longitud de una elipse

El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales elípticas de segunda especie.

Sin embargo, el matemático Ramanujan ideó una ecuación más simple que se aproxima razonablemente a la longitud de la elipse, pero en grado menor que la obtenida mediante integrales elípticas. Ramanujan, en su formula, entre otros valores utiliza el “semieje mayor” y el “semieje menor”. Ecuación de la longitud de una elipse:

$P \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,$

Propiedades notables

La elipse goza de ciertas propiedades asociadas a sus componentes, como se puede ver en Analogía de Michelson y Morley.

Ejemplo

Hallar la ecuación canónica de la elipse

$\begin{displaymath}4\,x^2 + y^2 - 8\,x + 4\,y - 8 = 0\end{displaymath}$

Trazar su gráfica identificando los vértices, los focos, el centro y la excentricidad.

Solución

Para hallar la ecuación canónica debemos completar el cuadrado de la expresión en ambas variables e .

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \left(4 x^2 + y^2 - 8 x + 4 y - 8 \right... ...+ \frac{{\left( y + 2 \right) }^2}{16}} & = & 1 \\ \end{array}\end{displaymath}$

De donde obtenemos que el centro es , el valor de ( es la longitud mayor, esto nos dice que la elipse es vertical), el valor de y el valor de está dado por :

$\begin{displaymath}c^2 = 4^2 - 2^2 ;\Longrightarrow \; c= {\sqrt{12}} = 2\,{\sqrt{3}}\end{displaymath}$

Y así, los focos están dados por $(1, -2 \pm 2\sqrt{3})$ y los vértices po . Por último, la excentricidad es

$\begin{displaymath}e = \frac{c}{a} = \frac{2\,{\sqrt{3}}}{4} = \frac{{\sqrt{3}}}{2}\end{displaymath}$

La gráfica se muestra en la figura 4.

Hipérbola

Hipérbola

Es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

Ecuaciones de la hipérbola

Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas $(0, 0) \,$ y ecuación de la hipérbola en su forma compleja.

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto $(h, k) \,$

$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

Ejemplos:

$\frac{(x)^2}{25} - \frac{(y)^2}{9} = 1$

$\frac{(x)^2}{9} - \frac{(y)^2}{25} = 1$

Ecuación de la hipérbola en su forma compleja

Una hipérbola en el plano complejo es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos $z\,$ , en el plano $Re Im\,$ ; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia de sus distacias $|z-w_1|-|z-w_2|\,$ , a dos puntos fijos llamados focos $w_1\,$ y $w_2\,$ , es una costante positiva igual al doble de la distancia (osea $2l\,$ ) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal.

La ecuacion queda: $|z-w_1|-|z-w_2|=2l\,$

Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el conjunto de los números complejos.

Ecuaciones en coordenadas polares

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

$r^2 =a\sec 2\theta \,$

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

$r^2 =-a\sec 2\theta \,$

Hipérbola abierta de noreste a suroeste:

$r^2 =a\csc 2\theta \,$

Hipérbola abierta de noroeste a sureste:

$r^2 =-a\csc 2\theta \,$

Ecuaciones Paramétricas

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

$\begin{matrix} x = a\cosh t + h \\ y = b\sinh t + k \\ \end{matrix} \qquad \mathrm{o} \qquad\begin{matrix} x = \pm a\csc t + h \\ y = b\ \operatorname {tan}\ t + k \\ \end{matrix}$

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

$\begin{matrix} x = a\cosh t + h \\ y = b\sinh t + k \\ \end{matrix} \qquad \mathrm{o} \qquad\begin{matrix} x = a\ \operatorname {sen}\ t + h \\ y = \pm b\tan-1 t + k \\ \end{matrix}$

Ejemplos